Question

【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足：a1=2，且a1 ， a2 ， a5成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設數(shù)列{an}的公差為d，依題意，2，2+d，2+4d成比數(shù)列，故有（2+d）2=2（2+4d），

化簡得d2﹣4d=0，解得d=0或4，

當d=0時，an=2，

當d=4時，an=2+（n﹣1）4=4n﹣2．

（2）解：當an=2時，Sn=2n，顯然2n＜60n+800，

此時不存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n+800成立，

當an=4n﹣2時，Sn= =2n2，

令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，

解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），

此時存在正整數(shù)n，使得Sn＞60n+800成立，n的最小值為41，

綜上，當an=2時，不存在滿足題意的正整數(shù)n，

當an=4n﹣2時，存在滿足題意的正整數(shù)n，最小值為41

【解析】（1）設出數(shù)列的公差，利用等比中項的性質建立等式求得d，則數(shù)列的通項公式可得．（2）利用（1）中數(shù)列的通項公式，表示出Sn根據(jù)Sn＞60n+800，解不等式根據(jù)不等式的解集來判斷．
【考點精析】掌握數(shù)列的前n項和和等差數(shù)列的性質是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系；在等差數(shù)列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列．