Question

14．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點與拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的距離為3，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為（-1，1），則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

Answer 1

分析 利用拋物線方程求出雙曲線的實半軸的長，利用漸近線與拋物線的準(zhǔn)線方程的交點，求出虛半軸的長，可得雙曲線方程．

解答 解：雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為（-1，1），雙曲線的漸近線方程bx+ay=0，可得b=a，
可得p=2，拋物線的焦點坐標(biāo)（1，0），雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左頂點與拋物線y²=2px（p＞0）的焦點的距離為3，可得a=4，b=4．
所求雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

點評 本題考查雙曲線方程的求法，拋物線以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．