Question

【題目】已知為實(shí)數(shù)，數(shù)列滿足，.

（Ⅰ）當(dāng)和時(shí)，分別寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)及正整數(shù)，使得數(shù)列的前項(xiàng)和？若存在，求出實(shí)數(shù)及正整數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見證明；（Ⅲ）見解析

【解析】

（I）利用遞推公式，依次計(jì)算出的值.（II）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，且公差為，故總有一項(xiàng)是不大于的.根據(jù)這一項(xiàng)在之間討論，結(jié)合數(shù)列的遞推公式，判斷出正整數(shù)存在.（III）將分成三類，求得的表達(dá)式，由此判斷出不存在實(shí)數(shù)正整數(shù)，使得.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，. 所以，在數(shù)列中直到第一個(gè)小于等于的項(xiàng)出現(xiàn)之前，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的遞減的等差數(shù)列.

即.

所以，當(dāng)足夠大時(shí)，總可以找到，使.

（1）若，令，則存在正整數(shù)，使得.

（2）若，因?yàn)?/span>，則，

令，則存在正整數(shù)，使得.

綜述所述，則存在正整數(shù)，使得.

（Ⅲ）①當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，（），

令，，而此時(shí)為奇數(shù)，所以不成立；又不成立，所以不存在正整數(shù)，使得.

②當(dāng)時(shí)，……

所以數(shù)列的周期是4，

當(dāng)，時(shí)，；

當(dāng)，時(shí)，；

當(dāng)，時(shí)，；

當(dāng)，時(shí)，.

所以（）.

所以或者是偶數(shù)，或者不是整數(shù)，即不存在正整數(shù)，使得.

③當(dāng)時(shí)，

（），不存在正整數(shù)，使得.

綜述所述，不存在實(shí)數(shù)正整數(shù)，使得.