Question

18．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面AA₁C₁C⊥底面ACB，AA₁=A₁C=AC=2$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$，且A₁C⊥BC，點E，F(xiàn)分別為AB，A₁C₁的中點．
（1）求證：BC⊥平面ACA₁；
（2）求證：EF∥平面BB₁C₁C；
（3）求四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出A₁D⊥AC，A₁D⊥BC，A₁C⊥BC，由此能證明BC⊥平面ACA₁．
（2）設B₁C₁的中點為G，連結FG、GB，推導出四邊表FGBE是平行四邊形，從而EF∥BG，由此能證明EF∥平面BB₁C₁C．
（3）四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積：${V}_{{A}_{1}-B{B}_{1}{C}_{1}C}$=$2{V}_{{A}_{1}-ABC}$，由此能求出結果．

解答 證明：（1）∵在△AA₁C₁中，AA₁=A₁C，取D為AC中點，
∴A₁D⊥AC，
∵側面AA₁C₁C⊥底面ABC，
∴側面AA₁C₁C∩底面ABC=AC，
∴A₁D⊥平面ABC，
∵BC在平面ABC上，∴A₁D⊥BC，
又A₁C⊥BC，A₁C、AD都在平面ACA₁上，且A₁C∩AD=D，
∴BC⊥平面ACA₁．
（2）設B₁C₁的中點為G，連結FG、GB，
在四邊形FGBE中，F(xiàn)G∥A₁B₁，且FG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$A₁B₁，
又∵EB∥A₁B₁，且EB=$\frac{1}{2}$A₁B₁，
∴$FG\underset{∥}{=}EB$，∴四邊表FGBE是平行四邊形，
∴EF∥BG，
又∵BG?平面BB₁C₁C，EF?平面BB₁C₁C，
∴EF∥平面BB₁C₁C．
解：（3）∵AA₁=A₁C=AC=2$\sqrt{3}$，
∴${A}_{1}D=\frac{\sqrt{3}}{2}AC=3$，
又由（1）知BC⊥平面ACA₁，AC?平面ACA₁，
∴BC⊥AC，
又BC=$\sqrt{3}$，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AC×BC=3$，
∴四棱錐A₁-BB₁C₁C的體積：
${V}_{{A}_{1}-B{B}_{1}{C}_{1}C}$=$2{V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{2}{3}{S}_{△ABC}×{A}_{1}D=6$．

點評 本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．