Question

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過(guò)點(diǎn)P（1，0），傾斜角為$\frac{3π}{4}$．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ；
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）記直線l和曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）直線l過(guò)點(diǎn)P（1，0），傾斜角為$\frac{3π}{4}$．可得直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用互化公式可得圓的方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓C的方程可得：t²+$\sqrt{2}$t-3=0．可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．

解答 解：（1）直線l過(guò)點(diǎn)P（1，0），傾斜角為$\frac{3π}{4}$．可得直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，可得圓的方程：x²+y²=4x．
（2）把直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓C的方程可得：t²+$\sqrt{2}$t-3=0．
∴t₁+t₂=-$\sqrt{2}$，t₁•t₂=-3，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-\sqrt{2}）^{2}-4×（-3）}$=$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．