Question

6．以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的命題中
①設(shè)A，B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，$|\overrightarrow{PA}|+|\overrightarrow{PB}|=k$，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；
②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓；
③方程ln²x-lnx-2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率；
④雙曲線(xiàn)$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{25}=1$與橢圓$\frac{x^2}{35}+{y^2}=1$有相同的焦點(diǎn)．
其中真命題的序號(hào)為②③（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題，對(duì)于①、由橢圓的定義分析可得①錯(cuò)誤；對(duì)于②、分析可得P是AB中點(diǎn)，結(jié)合垂徑定理分析可得②正確；對(duì)于③、求出方程ln²x-lnx-2=0的兩根，分析可得兩根的大小可得③正確；對(duì)于④、分析橢圓、雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位置即可得④不正確，綜合即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題：
對(duì)于①、若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓則需滿(mǎn)足k＞|AB|，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②、若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，則P是AB中點(diǎn)，即∠CPA=90°，所以P的軌跡是以CA為直徑的圓，故②正確；
對(duì)于③、方程ln²x-lnx-2=0的兩根分別為x=e²或$\frac{1}{e}$，而$\frac{1}{e}＜1，{e^2}＞1$，故③正確；
對(duì)于④、雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)在y軸上，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上；故④不正確
故答案為：②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查常見(jiàn)圓錐曲線(xiàn)的定義以及簡(jiǎn)單性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的地定義．