Question

20．如圖1，已知在菱形ABCD中，∠B=120°，E為AB的中點，現(xiàn)將四邊形EBCD沿DE折起至EBHD，如圖2．

（1）求證：DE⊥面ABE；
（2）若二面角A-DE-H的大小為$\frac{2π}{3}$，求平面ABH與平面ADE所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得△ABD為正三角形，再由E為AB的中點，得DE⊥AE，DE⊥BE，利用線面垂直的判定可得DE⊥面ABE；
（2）以點E為坐標原點，分別以線段ED，EA所在直線為x，y軸，再以過點E且垂直于平面ADE且向上的直線為z軸，建立空間直角坐標系．由二面角A-DE-H的平面角為$\frac{2π}{3}$，再設AE=1，可得E，A，B，D的坐標，然后分別求出平面ABH與平面ADE的一個法向量，利用兩法向量所成角的余弦值求得平面ABH與平面ADE所成銳二面角的余弦值．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，且∠B=120°，
∴△ABD為正三角形，
∵E為AB的中點，
∴DE⊥AE，DE⊥BE，
∴DE⊥面ABE；
（2）解：以點E為坐標原點，分別以線段ED，EA所在直線為x，y軸，再以過點E且垂直于平面ADE且向上的直線為z軸，建立空間直角坐標系如圖所示．
∵DE⊥面ABE，∴∠AEB為二面角A-DE-H的一個平面角，則$∠AEB=\frac{2π}{3}$，
設AE=1，則E（0，0，0），A（0，1，0），B（0，$-\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（$\sqrt{3}$，0，0），
由$\overrightarrow{DH}=2\overrightarrow{EB}$，得H（$\sqrt{3}，-1，\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AB}=（0，-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{AH}=（\sqrt{3}，-2，\sqrt{3}）$，
設平面ABH的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\frac{3}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AH}=\sqrt{3}x-2y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}=（-1，\sqrt{3}，3）$．
而平面ADE的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（0，0，1）$，
設平面ABH與平面ADE所成銳二面角的大小為θ，
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{3\sqrt{13}}{13}$|=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴平面ABH與平面ADE所成銳二面角的余弦值為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題．