（2012•包頭一模）如圖，四邊形DCBE為直角梯形，∠DCB=90°，DE∥CB，DE=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，CD⊥AB，直線AE與直線CD所成角為60°．
（Ⅰ）求證：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求BE與平面ACE所成角的正弦值．
分析：（Ⅰ）證明CD⊥平面ABC，利用面面垂直的判定，可證平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，由直線AE與直線CD所成角為60°，確定
BE
的坐標，求出平面ACE的一個法向量
n
=(
3
，3，-3)，利用向量的夾角公式，可求BE與平面ACE所成角的正弦值．
解答：（Ⅰ）證明：∵CD⊥AB，CD⊥CB，AB∩BC=B
∴CD⊥平面ABC
∵CD?平面ACD
∴平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：在平面ACB內，過C作CF⊥CB，以C為原點，以CF，CB，CD所在射線為x，y，z的正半軸建立空間直角坐標系C-xyz（如圖）

由題意，設CD=a（a＞0），則D（0，0，a），E（0，1，a），B（0，2，0），A（
3
2
，-
1
2
，0）
∴
AE
=(-
3
2
，
3
2
，a)，
CD
=(0，0，a)
由直線AE與直線CD所成角為60°，得
AE
•
CD
=|
AE
||
CD
|cos60°，即a2=
a
2
a2+3
，解得a=1．
∴
CE
=(0，1，1)，
CA
=(
3
2
，-
1
2
，0)，
BE
=(0，-1，1)，
設平面ACE的一個法向量為
n
=（x，y，z），則
n
•
CA
=0
n
•
CE
=0
，
即
3
2
x-
1
2
y=0
y+z=0
，取x=
3
，則y=3，z=-3，得
n
=(
3
，3，-3)，
設BE與平面ACE所成角為θ，則sinθ=
|
BE
•
n
|
|
BE
||
n
|
=
42
7
，于是BE與平面ACE所成角的正弦值為
42
7
．
點評：本題考查面面垂直，考查線面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，解題的關鍵是掌握面面垂直的判定方法，正確確定向量的坐標，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•包頭一模）在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2，AB=1．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積V；
（Ⅱ）若F為PC的中點，求證：平面PAC⊥平面AEF．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•包頭一模）下列命題錯誤的是（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•包頭一模）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）與拋物線y2=8x有 一個公共的焦點F，且兩曲線的一個交點為P，若|PF|=5，則雙曲線方程為
x2-
y2
3
=1
x2-
y2
3
=1
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•包頭一模）函數(shù)f（x）=sin（ωx+?）（其中|?|＜
π
2
）的圖象如圖所示，為了得到y(tǒng)=sinωx的圖象，只需把y=f（x）的圖象上所有點（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•包頭一模）在平面直角坐標系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為 
x=acosφ
y=bsinφ
（a＞b＞0，?為參數(shù)），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2是圓心在極軸上，且經過極點的圓．已知曲線C1上的點M（1，
3
2
）對應的參數(shù)φ=
π
3
，曲線C2過點D（1，
π
3
）．
（Ⅰ）求曲線C1，C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）若點A（ρ 1，θ），B（ρ 2，θ+
π
2
） 在曲線C1上，求
1
ρ
2
1
+
1
ρ
2
2
的值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案