Question

10．已知f（x）=sinx-$\frac{1}{2}$x（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），則f（x）的值域為[0，$\frac{3\sqrt{3}-π}{6}$]．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)函研究函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性求解值域．

解答 解：f（x）=sinx-$\frac{1}{2}$x（x∈[0，$\frac{π}{2}$]），
那么：f′（x）=cosx-$\frac{1}{2}$．
當(dāng)$0≤x＜\frac{π}{3}$時，f′（x）＞0，則f（x）是單調(diào)遞增，
當(dāng)$\frac{π}{3}＜x≤\frac{π}{2}$時，f′（x）＜0，則f（x）是單調(diào)遞減，
故得f（$\frac{π}{3}$）_max=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{6}$，
∵f（0）=0，f（$\frac{π}{2}$）=1$-\frac{π}{4}$
∴f（x）的值域為[0，$\frac{3\sqrt{3}-π}{6}$]．
故答案為[0，$\frac{3\sqrt{3}-π}{6}$]．

點評 本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．