Question

18．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，坐標原點到直線AB的距離為$\frac{3}{2}$，其中A（a，0），B（0，-b）．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若B₁是雙曲線虛軸在y軸正半軸上的端點，過B作直線與雙曲線交于M，N兩點，求B₁M⊥B₁N時，直線MN的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：雙曲線的焦點在x軸上，離心率為e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，由點（0，0）到直線bx-ay-ab=0的距離公式：d=$\frac{丨-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，a²+b²=c²，即可求得a和b的值，求得雙曲線的方程；
（2）由題意設直線MN的方程為：y=kx-3，代入雙曲線方程，由△＞0，求得k的取值范圍，由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{6k}{3-{k}^{2}}$，x₁•x₂=-$\frac{18}{3-{k}^{2}}$，$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（x₁，y₁-3），$\overrightarrow{{B}_{1}N}$=（x₂，y₂-3），由B₁M⊥B₁N，則$\overrightarrow{{B}_{1}M}$•$\overrightarrow{{B}_{1}N}$=0，由向量數(shù)量積的坐標表示即可求得k的值，求得直線MN的方程．

解答 解：（1）由題意可知：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的焦點在x軸上，
離心率為e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，
由A（a，0），B（0，-b），
∴直線AB的方程為：bx-ay-ab=0，
由點到直線的距離公式可知：d=$\frac{丨-ab丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，
由a²+b²=c²，
代入解得：a=$\sqrt{3}$，b=3，c=2$\sqrt{3}$，
∴雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$；
（2）由（1）可知：B₁（0，3），B（0，-3）．
直線MN的斜率顯然存在，設MN的方程為：y=kx-3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3-k²）x²+6kx-18=0，
△=36k²-4（-18）（3-k²）=-k²+6＞0，
解得：-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{6}$，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{6k}{3-{k}^{2}}$，x₁•x₂=-$\frac{18}{3-{k}^{2}}$，
∴y₁•y₂=k²x₁•x₂-3k（x₁+x₂）+9，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-6，
∵$\overrightarrow{{B}_{1}M}$=（x₁，y₁-3），$\overrightarrow{{B}_{1}N}$=（x₂，y₂-3）
由B₁M⊥B₁N，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}M}$•$\overrightarrow{{B}_{1}N}$=0，
∴x₁•x₂+（y₁-3）（y₂-3）=0，
x₁•x₂+y₁•y₂-3（y₁+y₂）+9=0，
∴（1+k²）x₁•x₂-6k（x₁+x₂）+36=0，
將x₁+x₂=$\frac{6k}{3-{k}^{2}}$，x₁•x₂=-$\frac{18}{3-{k}^{2}}$，代入整理得：k²=5，
解得：k=±$\sqrt{5}$，滿足-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{6}$，
∴直線MN的方程為：y=$\sqrt{5}$x-3或y=-$\sqrt{5}$-3．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，直線與雙曲線的位置關系，考查向量數(shù)量積的坐標運算，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．