Question

14．對于定義域?yàn)镽的函數(shù)g（x），若函數(shù)sin[g（x）]是奇函數(shù)，則稱g（x）為正弦奇函數(shù)．已知f（x）是單調(diào)遞增的正弦奇函數(shù)，其值域?yàn)镽，f（0）=0．
（1）已知g（x）是正弦奇函數(shù)，證明：“u₀為方程sin[g（x）]=1的解”的充要條件是“-u₀為方程sin[g（x）]=-1的解”；
（2）若f（a）=$\frac{π}{2}$，f（b）=-$\frac{π}{2}$，求a+b的值；
（3）證明：f（x）是奇函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦奇函數(shù)的定義，結(jié)合充要條件的定義，分別證明必要性和充分性，可得結(jié)論；
（2）由f（x）是單調(diào)遞增的正弦奇函數(shù)，f（a）=$\frac{π}{2}$，f（b）=-$\frac{π}{2}$，可得a，b互為相反數(shù)，進(jìn)而得到答案．
（3）根據(jù)f（x）是單調(diào)遞增的正弦奇函數(shù)，其值域?yàn)镽，f（0）=0得到：f（-x）=-f（x），可得結(jié)論．

解答 證明（1）∵g（x）是正弦奇函數(shù)，
故sin[g（x）]是奇函數(shù)，
當(dāng)：“u₀為方程sin[g（x）]=1的解”時(shí)，sin[g（u₀）]=1，
則sin[g（-u₀）]=-1，
即“-u₀為方程sin[g（x）]=-1的解”；
故：“u₀為方程sin[g（x）]=1的解”的必要條件是“-u₀為方程sin[g（x）]=-1的解”；
當(dāng)：“-u₀為方程sin[g（x）]=-1的解”時(shí)，sin[g（-u₀）]=-1，
則sin[g（u₀）]=1，
即“u₀為方程sin[g（x）]=1的解”；
故：“u₀為方程sin[g（x）]=1的解”的充分條件是“-u₀為方程sin[g（x）]=-1的解”；
綜上可得：“u₀為方程sin[g（x）]=1的解”的充要條件是“-u₀為方程sin[g（x）]=-1的解”；
解：（2）∵f（x）是單調(diào)遞增的正弦奇函數(shù)，
f（a）=$\frac{π}{2}$，f（b）=-$\frac{π}{2}$，
則sin[f（a）]+sin[f（b）]=1-1=0，
則a=-b，
則a+b=0
證明：（3）∵f（x）是單調(diào)遞增的正弦奇函數(shù)，其值域?yàn)镽，f（0）=0．
故sin[f（-x）]+sin[f（x）]=0，
即sin[f（-x）]=-sin[f（x）]=sin[-f（x）]，
f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，充要條件，難度中檔．