Question

13．已知函數(shù)f（x）=xlnx+x²-3x-$\frac{x}{e^x}$（x＞0）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）求證：e^x≥x+1；
（Ⅲ）求證f'（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的極值．
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-x-1，利用導數(shù)求解函數(shù)的最值，即可證明e^x≥x+1，
（Ⅲ）設(shè)$g（x）=f'（x）=lnx+2（x-1）+\frac{x-1}{e^x}$，求出導數(shù)，轉(zhuǎn)化證明$\frac{1}{x}+2+\frac{2-x}{e^x}≥0$在（0，+∞）上恒成立，利用分析法證明f'（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=lnx+2（x-1）+\frac{x-1}{e^x}$，
可得x＞1時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
0＜x＜1時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
所以f（x）存在極小值為$f（1）=-2-\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）證明：h（x）=e^x-x-1，所以h'（x）=e^x-1，
當x≥0時，h'（x）≥0，h（x）為增函數(shù)，
當x＜0時，h'（x）＜0，h（x）為減函數(shù)，
所以h（x）≥h（0）=0，所以e^x≥x+1，
（Ⅲ）證明：設(shè)$g（x）=f'（x）=lnx+2（x-1）+\frac{x-1}{e^x}$，
則$g'（x）=\frac{1}{x}+2+\frac{2-x}{e^x}$，欲證f'（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
只需證明$\frac{1}{x}+2+\frac{2-x}{e^x}≥0$在（0，+∞）上恒成立，顯然x∈（0，2]符合題意，
當x＞2時，只需證明${e^x}≥\frac{{{x^2}-2x}}{2x+1}$．
因為（x+1）（2x+1）-（x²-2x）=x²+5x+1在x＞2時大于零，
所以${e^x}≥x+1＞\frac{{{x^2}-2x}}{2x+1}$，所以原式得證，
所以f'（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，構(gòu)造法的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，難度比較大，