Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性;

（Ⅲ）設(shè)若對(duì)恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，先利用求得值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求其切線方程；（Ⅱ）求導(dǎo)，通過(guò)討論二次方程的兩根的大小關(guān)系進(jìn)行求解；（Ⅲ）分離參數(shù)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，再通過(guò)求導(dǎo)進(jìn)行處理.

試題解析：（Ⅰ）由得或（舍去）

經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極值.

時(shí),

則

所以所求的切線方程為 整理得.

綜上所述,曲線在點(diǎn) 處的切線方程為

（Ⅱ）定義域?yàn)?/span>,

令得或,則且

①當(dāng)時(shí), 此時(shí)在上單調(diào)遞增;

②當(dāng)時(shí), 在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；

③當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

綜上所述,當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí), 在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

（Ⅲ）由題意, ,即,

即對(duì)任意恒成立,令則

令則即在上單調(diào)遞減, 上單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí)取得最小值

解得

又的取值范圍為

綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為