Question

1．已知定義在R山的函數(shù)y=f（x）滿足f（x+1）=f（x），當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=2-x，若函數(shù)g（x）=f（x）-2a^x（a＞0，a≠1），恰有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{1}{2}，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）∪（\frac{1}{{\sqrt{2}}}，\frac{1}{{\root{3}{2}}}）$
• B． $（\frac{1}{{\sqrt{2}}}，\frac{1}{{\root{3}{2}}}）∪[2，+∞）$
• C． $（\frac{1}{2}，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）∪[2，+∞）$
• D． $（\frac{1}{2}，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）∪（\frac{1}{{\sqrt{2}}}，\frac{1}{{\root{3}{2}}}）∪[2，+∞）$

Answer 1

分析 函函數(shù)g（x）=f（x）-2a^x（a＞0，a≠1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=f（x）與y=2a^x的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，考慮特殊位置，由此求出a的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)g（x）=f（x）-2a^x（a＞0，a≠1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
即函數(shù)y=f（x）與y=2a^x的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
f（x+1）=f（x），函數(shù)f（x）是周期為1的周期函數(shù)，
又由當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=2-x，
據(jù)此a＞1時(shí)，（-1，1）代入，可得1=2a^-1，∴a=2；
0＜a＜1時(shí)，（2，1）代入，可得1=2a^-2，∴a=$\frac{1}{\sqrt{2}}$；（3，1）代入，可得1=2a^-3，∴a=$\frac{1}{\root{3}{2}}$
∵函數(shù)g（x）=f（x）-2a^x（a＞0，a≠1），恰有2個(gè)零點(diǎn)，
∴$（\frac{1}{{\sqrt{2}}}，\frac{1}{{\root{3}{2}}}）∪[2，+∞）$，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)圖象的變化與應(yīng)用問題，涉及函數(shù)的周期性，對數(shù)函數(shù)的圖象等知識點(diǎn)，是綜合性題目．