Question

已知函數(shù).
（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；
（2）用定義證明函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和不小于，求的取值范圍.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）[4,+∞).

試題分析：（1）利用奇偶性定義可證；（2）利用單調(diào)性定義可證；（3）在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，由題意可得關(guān)于的不等式，解不等式即可.
試題解析：
解：（1）函數(shù)是奇函數(shù)，              1分
∵函數(shù)的定義域為，在軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱，    2分
且，                 3分
∴函數(shù)是奇函數(shù).              4分
（2）證明：設(shè)任意實數(shù)，且，         5分
則，     6分
∵ ∴，        7分
∴<0 ，    8分
∴<0,即，           9分
∴函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).           10分
（3）∵，
∴函數(shù)在區(qū)間上也為增函數(shù).                  11分
∴，         12分
若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和不小于，
則，            13分
∴，
∴的取值范圍是[4,+∞).               14分