Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^x．
（Ⅰ）過(guò)原點(diǎn)作曲線(xiàn)y=f（x）的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，討論曲線(xiàn)y=f（x）與曲線(xiàn)y=mx²（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （I）先求出其導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出切線(xiàn)的斜率即可；
（II）由f（x）=mx²，令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)切線(xiàn)方程為y=kx，
切點(diǎn)為（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{k{x}_{0}={e}^{{x}_{0}}}\\{k={e}^{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，
∴x₀=1，k=e，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y=ex；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0，m＞0時(shí)，令f（x）=mx²，化為m=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$（x＞0），則h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
則x∈（0，2）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=2時(shí)，h（x）取得極小值即最小值，h（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$．
∴當(dāng)m∈（0，$\frac{{e}^{2}}{4}$）時(shí)，曲線(xiàn)y=f （x） 與曲線(xiàn)y=mx²（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；
當(dāng)m=$\frac{{e}^{2}}{4}$時(shí)，曲線(xiàn)y=f （x） 與曲線(xiàn)y=mx²（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；
當(dāng)m＞$\frac{{e}^{2}}{4}$時(shí)，曲線(xiàn)y=f （x） 與曲線(xiàn)y=mx²（m＞0）公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究切線(xiàn)、單調(diào)性、方程的根的個(gè)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了分類(lèi)討論的思想方法、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力．