Question

5．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，則λ+μ的最大值為（　�。�

• A． 3
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 如圖：以A為原點(diǎn)，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+1，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinθ+2），根據(jù)$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，求出λ，μ，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值．

解答 解：如圖：以A為原點(diǎn)，以AB，AD所在的直線為x，y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上，
設(shè)圓的半徑為r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴$\frac{1}{2}$BC•CD=$\frac{1}{2}$BD•r，
∴r=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=$\frac{4}{5}$，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+1，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinθ+2），
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$，
∴（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+1，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+1=λ，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinθ+2=2μ，
∴λ+μ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$cosθ+$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵-1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值為3，
故選：A

點(diǎn)評 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及圓的方程和三角函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．