Question

17．已知函數(shù)f（x）=|x|+|x-3|．
（1）求不等式f（$\frac{x}{2}$）＜6的解集；
（2）若k＞0且直線y=kx+5k與函數(shù)f（x）的圖象可以圍成一個(gè)三角形，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論以去掉絕對(duì)值號(hào)，即可解關(guān)于x的不等式f（$\frac{x}{2}$）＜6；
（Ⅱ）作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解．

解答 解：（1）x≤0，不等式可化為-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$x+3＜6，
∴x＞-3，∴-3＜x≤0；
0＜x＜6，不等式可化為$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$x+3＜6，成立；
x≥6，不等式可化為$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$x-3＜6，∴x＜9，
∴6≤x＜9；
綜上所述，不等式的解集為{x|-3＜x＜9}；
（2）f（x）=|x|+|x-3|．
由題意作圖如下，
k＞0且直線y=kx+5k與函數(shù)f（x）的圖象可以圍成一個(gè)三角形，
由直線過（0，3）可得k=$\frac{3}{5}$，由直線過（3，3）可得k=$\frac{3}{8}$，
∴$\frac{3}{8}$$＜k≤\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，屬于中檔題．