Question

6．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）-f（x）＞1，f（0）=2016，則不等式f（x）＞2017•e^x-1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（　�。�

• A． （-∞，0）∪（0，+∞）
• B． （2017，+∞）
• C． （0，+∞）
• D． （0，+∞）∪（2017，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=e^-xf（x）+e^-x，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，從而得到g（x）＞g（0），由此能求出f（x）＞2017•e^x-1的解集．

解答 解：設(shè)g（x）=e^-xf（x）+e^-x，
則g′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）-e^-x=e^-x[f'（x）-f（x）-1]，
∵f（x）-f′（x）＞1，∴f（x）-f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，g（0）=2017，
∵f（x）＞2017•e^x-1，∴e^-xf（x）＞2017-e^-x，
得到g（x）＞2017=g（0），
∴g（x）＞g（0），得x＞0，
∴f（x）＞2017•e^x-1的解集為（0，+∞），
故選：C．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是利用已知條件適當(dāng)構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求不等式的解，是中檔題．