Question

8．如圖，點(diǎn)A，B是單位圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），記∠COA=α，且△AOB是正三角形．
（Ⅰ）求$\frac{1+sin2α}{1+cos2α}$的值；
（Ⅱ）求cos∠COB的值．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函數(shù)的定義、二倍角共公式，求得要求式子的值．
（2）由條件利用兩角和的余弦公式，求得cos∠COB=cos（α+60°）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵A的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1+sin2α}{1+cos2α}=\frac{1+2sinαcosα}{{2{{cos}^2}α}}=\frac{1}{18}$．
（Ⅱ）∵△AOB為正三角形，∴∠AOB=60°．
∴cos∠COB=cos（α+60°）=cosαcos60°-sinαsin60°=-$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{4}{5}$×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{-3-4\sqrt{3}}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義、二倍角共公式，兩角和的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．