Question

18．如圖，長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=2$\sqrt{3}$，AD=2$\sqrt{3}$，AA′=2，
（1）求異面直線BC′和AD所成的角；
 （2）求證：直線BC′∥平面ADD′A′．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，得∠CBC′是異面直線BC′和AD所成的角，由此能求出異面直線BC′和AD所成的角．
（2）連結AD′，由AD′∥BC′，能證明直線BC′∥平面ADD′A′．

解答 解：（1）∵長方體ABCD-A′B′C′D′中，AD∥BC，
∴∠CBC′是異面直線BC′和AD所成的角，
∵長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=2$\sqrt{3}$，AD=2$\sqrt{3}$，AA′=2，CC′⊥BC，
∴tan∠CBC′=$\frac{C{C}^{'}}{BC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CBC′=30°，
∴異面直線BC′和AD所成的角為30°．
證明：（2）連結AD′，
∵長方體ABCD-A′B′C′D′中，AD′∥BC′，
又AD′?平面ADD′A′，BC′?平面ADD′A′，
∴直線BC′∥平面ADD′A′．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．