【題目】已知橢圓C: 的左、右焦點(diǎn)為F1,F2,設(shè)點(diǎn)F1,F2與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成斜邊長為4的直角三角形.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)A,B,P為橢圓C上三點(diǎn),滿足,記線段AB中點(diǎn)Q的軌跡為E,若直線l:y=x+1與軌跡E交于M,N兩點(diǎn),求|MN|.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】試題分析:
(1)由題意可得,即可求出,即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)方法一:設(shè),利用向量,求得點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)在橢圓上,把直線的方程和橢圓方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系、韋達(dá)定理,利用弦長公式,即可求解;
方法二:設(shè),根據(jù)題意和點(diǎn)在橢圓上,化簡整理可得,再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,消去 線段的中點(diǎn)的軌跡方程,再設(shè)兩點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為,根據(jù)弦長公式即可求出.
試題解析:
(1)由已知得2c=4,b=2,故c=2,a=2.
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)法一 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∵=+,∴=,故點(diǎn)P坐標(biāo)為.
由于點(diǎn)P在橢圓C上,
故有+=1,
++=1,
即++=1,即+=0.
令線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x,y),則
因A,B在橢圓C上,故有
相加有+=2.
故+=2,
由于+=0,
故+=2,即Q點(diǎn)的軌跡E的方程為+=1.
聯(lián)立得3x2+4x-2=0.
設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),
則x3+x4=-,
x3·x4=-.
故|MN|=|x3-x4|==.
法二 設(shè)A(2cos α,2sin α),B(2cos β,2sin β),
∵=+,
∴=,故點(diǎn)P坐標(biāo)為.
∵點(diǎn)P在橢圓上,
∴(3cos α+4cos β)2+(3sin α+4sin β)2=25,
∴cos αcos β+sin αsin β=0,∴cos(α-β)=0,
∴α-β=,
∴B(2sin α,-2cos α),
∴AB中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(cos α+sin α,sin α-cos α),
設(shè)Q的點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),
∴x=cos α+sin α,y=sin α-cos α,
∴=cos2α+2cos αsin α+sin2α=1+2cos αsin α,
y2=cos2α-2cos αsin α+sin2α=1-2cos αsin α,
∴+y2=2,
即線段AB中點(diǎn)Q的軌跡為E的方程為+=1.
設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1),(x2,y2),
由消y,
整理得3x2+4x-2=0,
∴x1+x2=-,x1x2=-,
∴|MN|=|x1-x2|=×=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),記,是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式有解?若存在,請求出的最小值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinωxcosωx-cos2ωx+ (ω>0),經(jīng)化簡后利用“五點(diǎn)法”畫其在某一周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:
x | ① |
| |||
f(x) | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
(1)請直接寫出①處應(yīng)填的值,并求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域;
(2)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知f(A+)=1,b+c=4,a=,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)圖象的對稱性與周期性,有下列說法:①若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=f(3+x),則f(x)的一個(gè)周期為T=2;②若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+1)=f(3-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱;③函數(shù)y=f(x+1)與函數(shù)y=f(3-x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱;④若函數(shù)與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則,其中正確的個(gè)數(shù)是()
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b分別是△ABC內(nèi)角A,B的對邊,且bsin2A=acos Asin B,函數(shù)f(x)=sin Acos2x-sin2sin 2x,x∈.
(1)求A;
(2)求函數(shù)f(x)的值域.
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【題目】已知雙曲線E: (a>0,b>0)的漸近線方程為3x±4y=0,且過焦點(diǎn)垂直x軸的直線與雙曲線E相交弦長為,過雙曲線E中心的直線與雙曲線E交于A,B兩點(diǎn),在雙曲線E上取一點(diǎn)C(與A,B不重合),直線AC,BC 的斜率分別為k1,k2,則k1k2等于( )
A. B. C. D.
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【題目】[選修4-5:不等式選講](10分)
已知函數(shù)f(x)=2|x-2|+3|x+3|.
(Ⅰ)解不等式:f(x)>15;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的最小值為m,正實(shí)數(shù)a,b滿足4a+25b=m,求+的最小值,并求出此時(shí)a,b的大。
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【題目】如圖,平面五邊形ABCDE中,AB∥CE,且AE=2,∠AEC=60°,CD=ED=,cos∠EDC=.將△CDE沿CE折起,使點(diǎn)D移動(dòng)到P的位置,且AP=,得到四棱錐P-ABCE.
(1)求證:AP⊥平面ABCE;
(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l,求證:AB∥l.
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【題目】設(shè)向量, ,記
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)試用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間上的簡圖,并指出該函數(shù)的圖象可由y=sin x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到;
(3)若函數(shù)g(x)=f(x)+m, 的最小值為2,試求出函數(shù)g(x)的最大值.
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