【題目】已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn).

①求證： ；

②當(dāng)為何值時(shí)， 取得最大值？并求出最大值.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)①.證明見解析；②.答案見解析.

【解析】試題分析：(1)橢圓的離心率為，又橢圓過(guò)已知點(diǎn)，即，再加上，聯(lián)立可求得；（2）直線與圓及橢圓都相切，因此可以把直線方程與橢圓方程(或圓方程)聯(lián)立方程組，此方程組只有一解，由此可得到題中參數(shù)的關(guān)系式，當(dāng)然直線與圓相切，可利用圓心到直線的距離等于圓的半徑來(lái)列式，得到的兩個(gè)等式中消去參數(shù)即可證得①式；而②要求的最大值，可先求出，注意到，因此，這里設(shè)，由①中的方程(組)可求得，最終把用表示， ，利用不等式知識(shí)就可求得最大值.

試題解析：(1)橢圓E的方程為4分

（2）①因?yàn)橹本�與圓C: 相切于A,得,

即① 5分

又因?yàn)?/span>與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)B，

由得,且此方程有唯一解.

則即

②由①②,得8分

②設(shè)，由得

由韋達(dá)定理,

∵點(diǎn)在橢圓上,∴

∴10分

在直角三角形OAB中,

∴12分

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

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（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)的直線交于一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)，若是的切線，求的最小值.

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（2）如果命題“”為真命題，且“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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