Question

19．已知扇形OAB的周長是60cm，
（Ⅰ）若其面積是20cm²，求扇形OAB的圓心角的弧度數(shù)；
（Ⅱ）求扇形OAB的最大面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設圓的半徑為rcm，弧長為lcm，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}lr=20}\\{l+2r=60}\end{array}\right.$，可得l，r，然后求解扇形的圓心角．
（Ⅱ）由扇形的周長和面積公式都和半徑和弧長有關，故可設出半徑和弧長，表示出周長和面積公式，根據(jù)基本不等式做出面積的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）設圓的半徑為rcm，弧長為lcm，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}lr=20}\\{l+2r=60}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{r=15+\sqrt{205}}\\{l=\frac{40}{15+\sqrt{205}}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{r=15-\sqrt{205}}\\{l=\frac{40}{15-\sqrt{205}}}\end{array}\right.$，
∴圓心角為$\frac{l}{r}$=43-3$\sqrt{205}$，或43+3$\sqrt{205}$，
（Ⅱ）設扇形半徑為r，弧長為l，則周長為2r+l=60，面積為s=$\frac{1}{2}$lr，
∵60=2r+l≥2 $\sqrt{2rl}$，
∴rl≤450，
∴s=$\frac{1}{2}$lr≤$\frac{1}{2}$×450=225，可得扇形OAB的最大面積為225cm²．

點評 本題考查扇形的周長和面積公式及利用基本不等式求最值，考查運用所學知識解決問題的能力，本題解題的關鍵是正確表示出扇形的面積，再利用基本不等式求解，屬于基礎題．