Question

10．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）$，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{8}，\frac{π}{2}]$上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x間∈上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$．
由$-π+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ$，
得$-\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{π}{8}+kπ$，
故函數(shù)f（x）的遞調(diào)遞增區(qū)間為$[-\frac{3π}{8}+kπ，\frac{π}{8}+kπ]$（k∈Z）；
（2）∵$f（x）=\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）$在區(qū)間$[-\frac{π}{8}，\frac{π}{8}]$上為增函數(shù)，
在區(qū)間$[\frac{π}{8}，\frac{π}{2}]$上為減函數(shù)，
又$f（-\frac{π}{8}）=0$，$f（\frac{π}{8}）=\sqrt{2}$，$f（\frac{π}{2}）=\sqrt{2}cos（π-\frac{π}{4}）=-\sqrt{2}cos\frac{π}{4}=-1$，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{8}，\frac{π}{2}]$上的最大值為$\sqrt{2}$，此時(shí)$x=\frac{π}{8}$；最小值為-1，此時(shí)$x=\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．