Question

18．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比為q，且滿足：a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)c_n=3b_n-2λ•$\frac{{a}_{n}}{3}$（λ∈R），若數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過設(shè)公差為d，利用已知條件得到方程組可求出d=q=3，進(jìn)而利用公式即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知c_n=3ⁿ-2λn，利用c_n＜c_n+1可知λ＜3ⁿ恒成立，進(jìn)而可知λ＜3．

解答 解：（1）設(shè)公差為d，則$\left\{\begin{array}{l}{q+（6+d）=12}\\{6+d={q}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{q=3}\end{array}\right.$，
所以a_n=3+3（n-1）=3n，b_n=3^n-1；
（2）由（1）可知c_n=3ⁿ-2λn，
由數(shù)列{c_n}是遞增數(shù)列，可知c_n＜c_n+1恒成立，
即3ⁿ-2λn＜3ⁿ⁺¹-2λ（n+1）恒成立，即λ＜3ⁿ恒成立，
顯然，數(shù)列{3ⁿ}是遞增數(shù)列，
∴當(dāng)n=1時(shí)，3ⁿ取最小值3，
所以λ＜3．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的單調(diào)性，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．