Question

【題目】已知雙曲線的兩個焦點為點在雙曲線C上.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）已知Q(0,2)，P為雙曲線C上的動點,點M滿足求動點M的軌跡方程；

（3）過點Q(0,2)的直線與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），或．

【解析】

（1）依題意，由，得雙曲線方程為，將點代入上式，能求出雙曲線方程；

（2）設由題意為線段的中點，則，由此能得到動點的軌跡方程；

（3）設直線的方程為，代入雙曲線的方程并整理，得．直線與雙曲線相交于不同的兩點、，所以，利用弦長公式與韋達定理解方程即可求出答案．

解：（1）依題意，由，

得雙曲線方程為，

將點代入上式，得，

解得（舍去）或，

故所求雙曲線方程為；

（2）設，

點滿足，為線段的中點，

，，

把點代入雙曲線方程為，

得動點的軌跡方程：；

（3）依題意，可設直線的方程為，代入雙曲線的方程并整理，

得，

直線與雙曲線相交于不同的兩點、，

，

，

設，，

由韋達定理得，，

于是

，

，即，

化簡得，

解得，或，

∴直線的方程為或，或。