Question

9．已知O，A，B是平面上不共線的三點，直線AB上有一點C，滿足2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{0}$，
（1）用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OC}$；
（2）若點D是OB的中點，用向量方法證明四邊形OCAD是梯形．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的加法法則即可用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OC}$；
（2）由2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{0}$，可證明A為BC的中點，點D是OB的中點，利用向量關系證明向量AD與向量OC成λ倍數(shù)關系即可得AD∥OC，那么四邊形OCAD是梯形．

解答 解：（1）由題意：直線AB上有一點C，
∵2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CA}$，
所以A為BC的中點；
由：$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}$…①，
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}$…②，
∵$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AC}$帶入①可得：$\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}$…③
由②③消去$\overrightarrow{AC}$可得：$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$．
（2）點D是OB的中點，則$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$．
由：$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{OA}$…④
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}$…⑤，
由①④⑤可得：$\overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$，
所以AD∥OC，
故得四邊形OCAD是梯形．

點評 本題考查了平面向量的線性運算的應用及平面向量基本定理的應用．