已知兩定點(diǎn),滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線(xiàn)E,直線(xiàn)y=kx-1與曲線(xiàn)E交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求k的取值范圍;
(Ⅱ)如果且曲線(xiàn)E上存在點(diǎn)C,使求m的值和△ABC的面積S.
【答案】分析:(Ⅰ)首先根據(jù)曲線(xiàn)的定義判斷出曲線(xiàn)E是雙曲線(xiàn)的左支,a和c已知,則可求得b,曲線(xiàn)E的方程可得.設(shè)出A,B的坐標(biāo),把直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立消去y,進(jìn)而根據(jù)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支交于兩點(diǎn)A,B,聯(lián)立不等式求得k的范圍.
(Ⅱ)根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得|AB|的表達(dá)式,根據(jù)結(jié)果為6求得k,則直線(xiàn)AB的方程可得,設(shè)C(x,y),根據(jù),可得;根據(jù)x1+x2和y1+y2的值求得C點(diǎn)的坐標(biāo),代入雙曲線(xiàn)方程求得m的值,進(jìn)而求得點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離,最后利用三角形面積公式求得三角形ABC的面積.
解答:解:(Ⅰ)由雙曲線(xiàn)的定義可知,曲線(xiàn)E是以為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的左支,
,易知b=1
故曲線(xiàn)E的方程為x2-y2=1(x<0)
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意建立方程組
消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0
又已知直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支交于兩點(diǎn)A,B,有
解得

(Ⅱ)∵
==
=
依題意得
整理后得28k4-55k2+25=0


故直線(xiàn)AB的方程為
設(shè)C(x,y),由已知,得(x1,y1)+(x2,y2)=(mx,my
,(m≠0)
,
∴點(diǎn)C
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)E的方程,得得m=±4,
但當(dāng)m=-4時(shí),所得的點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上,不合題意
∴m=4,點(diǎn)C的坐標(biāo)為C到AB的距離為
∴△ABC的面積
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查雙曲線(xiàn)的定義和性質(zhì)、直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的關(guān)系、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等知識(shí)及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問(wèn)題的能力.
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4、已知兩定點(diǎn)F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1|-|PF2|=2a,則當(dāng)a=3和5時(shí),P點(diǎn)的軌跡為(  )

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已知兩定點(diǎn)E(-
2
,0),F(xiàn)(
2
,0)
,動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足
PE
PF
=0
,由點(diǎn)P向x軸作垂線(xiàn)PQ,垂足為Q,點(diǎn)M滿(mǎn)足
PM
=(
2
-1)
MQ
,點(diǎn)M的軌跡為C.
(I)求曲線(xiàn)C的方程;
(II)若線(xiàn)段AB是曲線(xiàn)C的一條動(dòng)弦,且|AB|=2,求坐標(biāo)原點(diǎn)O到動(dòng)弦AB距離的最大值.

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A.雙曲線(xiàn)和一條直線(xiàn)

B.雙曲線(xiàn)和一條射線(xiàn)

C.雙曲線(xiàn)的一支和一條射線(xiàn)

D.雙曲線(xiàn)的一支和一條直線(xiàn)

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