Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，記

AnAn+1

=(an，an+1)，且

A1A2

∥

AnAn+1

．
（Ⅰ）求{a_n}；
（Ⅱ）是否存在等差數(shù)列{b_n}使得

n

i=1

aibi=（2n-3）2ⁿ+3？若存在，請求出{b_n}，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得（1，2）∥（a_n，a_n+1），從而{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出an=2n-1．
（Ⅱ）假設(shè)存在等差數(shù)列{b_n}使得

n

i=1

aibi=（2n-3）2ⁿ+3，則1×b₁=3-2=1，1+2b₂=7，從而{b_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，由此能求出b_n=2n-1．

解答： 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，
記

AnAn+1

=(an，an+1)，且

A1A2

∥

AnAn+1

，
∴（1，2）∥（a_n，a_n+1），
∴

1

an

=

2

an+1

，
∴a_n+1=2a_n，
∴{a_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）假設(shè)存在等差數(shù)列{b_n}使得

n

i=1

aibi=（2n-3）2ⁿ+3，
則1×b₁=3-2=1，解得b₁=1，
1+2b₂=7，解得b₂=3，
∴{b_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴b_n=2n-1．

點評：本小題主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列、向量平行的判斷、錯位相減法等基礎(chǔ)知識，考推理論證能力及運算求解能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想、特殊一般思想及應(yīng)用意識．