Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠ABC=120°，PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，點E，F(xiàn)為棱PB，PC中點，二面角F-AD-C的平面角的余弦值為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
（1）求棱PA的長；
（2）求PD與平面ADFE所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取AB中點O，連接OD，PO，證明PO⊥平面ABCD，建立坐標系，利用向量方法求棱PA的長；
（2）平面ADFE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，3），$\overrightarrow{PD}$=（$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），利用向量方法求求PD與平面ADFE所成角的正切值．

解答 解：（1）如圖，取AB中點O，連接OD，PO，
∵底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠ABC=120°，
∴OD⊥AB，
∵AB⊥PD，PD∩OD=D，
∴AB⊥平面POD，
∴AB⊥PO，
∵O為AB的中點，∴PA=PB．
∵平面PAB⊥平面ABCD，PO⊥AB，
∴PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥OD，
建立如圖所示的坐標系，設OP=h，平面FAD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則∵$\overrightarrow{FD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1，-$\frac{h}{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}x+y-\frac{h}{2}z=0}\\{\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，$\frac{3\sqrt{3}}{6}$），
取平面ACD的法向量為$\overrightarrow{OP}$=（0，0，h），則$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{4+\frac{27}{{h}^{2}}}•h}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，∴h=$\sqrt{3}$，
∴PA=$\sqrt{1+3}$=2；
（2）平面ADFE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，3），$\overrightarrow{PD}$=（$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），
設PD與平面ADFE所成角為α，則sinα=|$\frac{|\sqrt{3}-3\sqrt{3}|}{\sqrt{13}•\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}$，
∴tanα=$\frac{\sqrt{22}}{11}$．

點評 本題考查空間線面位置關系，線面角，考查向量方法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．