15.已知函數(shù)f(x)=ex(x2+2ax-a2)其中a是常數(shù).
(1)求證:不論a取任何實數(shù),f(x)在其定義域內(nèi)都存在增區(qū)間與減區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=ex(ax-a2+a)+k在[0,+∞)上有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)k的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到導(dǎo)函數(shù)有2個不相等的實數(shù)根,判斷函數(shù)的單調(diào)性即可;
(2)令g′(x)=ex[x2+(a+2)x)]=0,可解得x=-(a+2)或x=0,對-(a+2)與0的大小關(guān)系分類討論,可求得關(guān)于x的方程g(x)=k在[0,+∞)上有兩個不相等的實數(shù)根的k的取值范圍.

解答 解:(1)f(x)=ex(x2+2ax-a2),
則f′(x)=ex[x2+2(a+1)x+2a-a2],
△=4(a+1)2-4(2a-a2)=8a2+4>0,
故f′(x)=0有2個不相等的實數(shù)根,
故不論a取任何實數(shù),f(x)在其定義域內(nèi)都存在增區(qū)間與減區(qū)間;
(2)由f(x)=ex(ax-a2+a)+k,
得:ex(x2+ax-a)=k,令g(x)=ex(x2+ax-a),
則由g′(x)=ex[x2+(a+2)x)]=0,解得x=-(a+2)或x=0,
當(dāng)-(a+2)≤0,即a≥-2時,在區(qū)間[0,+∞)上,g′(x)≥0,所以g(x)是[0,+∞)上的增函數(shù).
所以方程g(x)=k在[0,+∞)上不可能有兩個不相等的實數(shù)根,
當(dāng)-(a+2)>0,即a<-2時,g′(x),g(x)隨x的變化情況如下表

x0(0,-(a+2))-(a+2)(-(a+2),+∞)
g′(x)0-0+
g(x)-a$\frac{a+4}{{e}^{a+2}}$
由上表可知函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的最小值為g(-(a+2))=$\frac{a+4}{{e}^{a+2}}$,
因為函數(shù)g(x)是(0,-(a+2))上的減函數(shù),是(-(a+2),+∞)上的增函數(shù),
且當(dāng)x≥-a時,有g(shù)(x)≥e-a(-a)>-a;
所以要使方程x的方程f(x)=ex(ax-a2+a)+k在[0,+∞)上有兩個不相等的實數(shù)根,
k的取值范圍必須是($\frac{a+4}{{e}^{a+2}}$,-a].

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值問題,突出考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,考查綜合分析與綜合運算的能力,屬于難題.

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