Question

11．若數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，且b_n=a_n+2+a_n+1，又S_n，T_n分別為數(shù)列{a_n}、{b_n}的前n項和，試比較S_n與T_n的大小．

Answer 1

分析 討論q=1，求得S_n，T_n，即可比較大小；q＞0且q≠1，運用等比數(shù)列的通項公式和求和公式，作差比較，討論q的范圍，即可得到所求大小關(guān)系．

解答 解：若q=1，可得S_n=na₁=n；
b_n=a_n+2+a_n+1=a₁+a₁=2，
T_n=2n，顯然S_n＜T_n；
若q＞0且q≠1，可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，
b_n=a_n+2+a_n+1=qⁿ⁺¹+qⁿ=（1+q）•qⁿ，
則T_n=$\frac{（1+q）q（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
由T_n-S_n=$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$•（q²+q-1），
由0＜q＜1或q＞1，均有$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$＞0，
當(dāng)q²+q-1=0，解得q=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（負(fù)的舍去），
此時T_n=S_n；
當(dāng)q＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$時，q²+q-1＞0，此時T_n＞S_n；
當(dāng)0＜q＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$時，q²+q-1＜0，此時T_n＜S_n．
綜上可得，當(dāng)q＞$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$時，T_n＞S_n；
當(dāng)0＜q＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$時，T_n＜S_n．

點評 本題考查等比數(shù)列的求和公式，考查兩數(shù)大小比較，注意運用分類討論的思想方法，考查互助金整理的運算能力，屬于中檔題．