Question

【題目】設拋物線Γ的方程為y2＝4x，點P的坐標為（1，1）．

（1）過點P，斜率為﹣1的直線l交拋物線Γ于U，V兩點，求線段UV的長；

（2）設Q是拋物線Γ上的動點，R是線段PQ上的一點，滿足2，求動點R的軌跡方程；

（3）設AB，CD是拋物線Γ的兩條經過點P的動弦，滿足AB⊥CD．點M，N分別是弦AB與CD的中點，是否存在一個定點T，使得M，N，T三點總是共線？若存在，求出點T的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4 （2）（3y﹣1）2＝8（3x﹣1） （3）存在，T（3，0）

【解析】

（1）根據條件可知直線l方程為x+y﹣2＝0，聯立直線與拋物線，根據弦長公式可得結果；

（2）設R（x0，y0），Q（x，y），根據2可得x，y，將其代入拋物線方程即可得到結果；

（3）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），設AB的方程為y＝k（x﹣1）+1，聯立，根據韋達定理和中點公式可得點的坐標，同理可得的坐標，由斜率公式得的斜率，由點斜式可得的方程，根據方程可得結果.

（1）根據條件可知直線l方程為y＝﹣（x﹣1）+1，即x+y﹣2＝0，

聯立，整理得x2﹣8x+4＝0，

則xU+xV＝8，xUxV＝4，

所以線段UV|xU﹣xV|4；

（2）設R（x0，y0），Q（x，y），則（x0﹣1，y0﹣1），（x﹣x0，y﹣y0），

根據2，則有2（x﹣x0）＝x0﹣1，2（y﹣y0）＝y0﹣1，所以x，y，

因為點Q在拋物線Γ上，所以（）2＝4，整理得（3y0﹣1）2＝8（3x0﹣1），

即點R的運動軌跡方程為（3y﹣1）2＝8（3x﹣1）；

（3）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

根據題意直線AB，CD的斜率存在且不為0，不妨設AB的方程為y＝k（x﹣1）+1，

聯立，整理得k2x2﹣2（k2﹣k+2）x+（1﹣k）2＝0，

則x1+x2，所以可得M（，），

同理可得N（1+k+2k2，﹣k），

則kMN

所以直線MN的方程為y[x﹣（1+k+2k2）]﹣k（x﹣3），即直線MN過點（3，0），故存在一個定點T（3，0），使得M，N，T三點總是共線．