Question

6．如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓，AB=AC，過點(diǎn)B作此圓的切線，與AC的延長線交于點(diǎn)D，且BD=2CD．
（1）若△ABC的面積為$\sqrt{15}$，求CD的長；
（2）若過點(diǎn)C作BD的平行線交圓于點(diǎn)E，求$\frac{AB}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)CD=x，則BD=2x，由切割線定理BD²=CD•AD，解得AD=4x，AC=AB=3x．在△ABD中，利用余弦定理可得∠BAD，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出．
（Ⅱ）CE∥BD，可得∠BCE=∠CBD．利用切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定定理可得△CBD∽△BAD，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)CD=x，則BD=2x，
由切割線定理BD²=CD•AD，即（2x）²=x•AD，
解得AD=4x，∴AC=AB=3x．
在△ABD中，$cos∠BAD=\frac{{A{B^2}+A{D^2}-B{D^2}}}{2AB\;\;•\;AD}=\frac{7}{8}$，∴$sin∠BAD=\frac{{\sqrt{15}}}{8}$．
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AB\;•\;ACsin∠BAC=\frac{{9\sqrt{15}{x^2}}}{16}$，
∴$\frac{{9\sqrt{15}{x^2}}}{16}=\sqrt{15}$，∴$x=\frac{4}{3}$，即$CD=\frac{4}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）∵CE∥BD，∴∠BCE=∠CBD．
∵BD為切線，∴∠BEC=∠CBD，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC．
∵∠CBD=∠BAD，∠D=∠D，
∴△CBD∽△BAD，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{CD}=2$，∴$\frac{AB}{BE}=2$．…（10分）

點(diǎn)評 本題考查了切割線定理、圓的性質(zhì)、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式、切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．