Question

20．函數y=f（x）對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（1）=1
（Ⅰ）分別求f（2），f（3），f（4）的值；
（Ⅱ）猜想f（n）（n∈N^*）的表達式，并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得當x=1，y=1時，求得f（2），當x=2，y=1求得f（x），當x=3，y=1，即可求得f（4）的值；
（Ⅱ）利用數學歸納法的步驟，當n=1時，f（1）=1，猜想成立；假設當n=k時，f（k）=k²，當n=k+1時，f（k+1）=f（k）+f（1）+2k×1=k²+2k+1=（k+1）²，當n=k+1時猜想成立，因此f（n）=n²．

解答 解：（Ⅰ）f（1）=1，
$\begin{array}{l}f（2）=f（1+1）=1+1+2=4\\ f（3）=f（2+1）=4+1+2×2×1=9\\ f（4）=f（3+1）=9+1+2×3×1=16\end{array}$，---------（6分）
（Ⅱ）猜想f（n）=n²，---------（8分）
下用數學歸納法證明之．
（1）當n=1時，f（1）=1，猜想成立；
（2）假設當n=k時，猜想成立，即 f（k）=k²，
則當n=k+1時，f（k+1）=f（k）+f（1）+2k×1=k²+2k+1=（k+1）²，
即當n=k+1時猜想成立．
由（1）、（2）可知，對于一切n∈N^*猜想均成立．--------（12分）

點評 本題考查抽象函數及其應用，考查數學歸納法的應用，考查代入法，考查計算能力，屬于中檔題．