【題目】已知函數(shù),.
(1)對(duì),恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),求在 上的最大值和最小值;
(3)證明:對(duì)都有成立.
【答案】(1);(2)詳見(jiàn)解析;(3)詳見(jiàn)解析.
【解析】
(1)原不等式等價(jià)于,參變分離可求參數(shù)的取值范圍.
(2)當(dāng)時(shí),,該函數(shù)的極小值點(diǎn)為,因函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,故分 和兩種情況分類(lèi)討論即可.
(3)即證在上恒成立,也就是在上恒成立,令,,利用導(dǎo)數(shù)可證.
(1)由題意,在恒成立,
即,,在恒成立,
設(shè),只須.
由于
所以時(shí),,單調(diào)遞減;
時(shí),,單調(diào)遞增;
故.因此.
所以的取值范圍為.
(2)時(shí),,,令,得.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
時(shí),,單調(diào)遞增.
故在時(shí),為最小值點(diǎn),且.
由題意 ,,
1°當(dāng)時(shí),在最小值為,
,
由于.
.
故.
即當(dāng)時(shí),在最小值為,
最大值為.
2°當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,
,
,
綜上所求.
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),.
(Ⅲ)即證:,
即證:,亦即證:,
設(shè),即,
令,,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
即.
又設(shè),.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.
故.
所以最小值與最大值均為.
但取得最小值與取得最大值時(shí)的不相同,故,
即成立,亦即結(jié)論成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)、為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn),過(guò)作垂直于軸的直線(xiàn),在軸上方交雙曲線(xiàn)于點(diǎn),且,圓的方程是.
(1)求雙曲線(xiàn)的方程;
(2)過(guò)雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)作該雙曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為、,求的值;
(3)過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于、兩點(diǎn),中點(diǎn)為,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)有邊長(zhǎng)分別3,4,5的三角形兩個(gè),邊長(zhǎng)分別4,5,的三角形四個(gè),邊長(zhǎng)分別為,4,5的三角形六個(gè).用上述三角形為面,可以拼成______個(gè)四面體.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出以下關(guān)于線(xiàn)性方程組解的個(gè)數(shù)的命題.
①,②,③,④,
(1)方程組①可能有無(wú)窮多組解;
(2)方程組②可能有且只有兩組不同的解;
(3)方程組③可能有且只有唯一一組解;
(4)方程組④可能有且只有唯一一組解.
其中真命題的序號(hào)為________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).其中表示的導(dǎo)函數(shù)在的取值.
(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在的定義域內(nèi)恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)列中,已知,對(duì)于任意的,有.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)若數(shù)列滿(mǎn)足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(3)設(shè),是否存在實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立?若存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求該函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)時(shí),如果對(duì)任何都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若,將函數(shù)的圖像沿軸方向平移,得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像,設(shè)函數(shù)的最大值為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若數(shù)列同時(shí)滿(mǎn)足:①對(duì)于任意的正整數(shù), 恒成立;②對(duì)于給定的正整數(shù), 對(duì)于任意的正整數(shù)恒成立,則稱(chēng)數(shù)列是“數(shù)列”.
(1)已知判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”,并說(shuō)明理由;
(2)已知數(shù)列是“數(shù)列”,且存在整數(shù),使得, , , 成等差數(shù)列,證明: 是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)在高二下學(xué)期開(kāi)設(shè)四門(mén)數(shù)學(xué)選修課,分別為《數(shù)學(xué)史選講》.《球面上的幾何》.《對(duì)稱(chēng)與群》.《矩陣與變換》.現(xiàn)有甲.乙.丙.丁四位同學(xué)從這四門(mén)選修課程中選修一門(mén),且這四位同學(xué)選修的課程互不相同,下面關(guān)于他們選課的一些信息:①甲同學(xué)和丙同學(xué)均不選《球面上的幾何》,也不選《對(duì)稱(chēng)與群》:②乙同學(xué)不選《對(duì)稱(chēng)與群》,也不選《數(shù)學(xué)史選講》:③如果甲同學(xué)不選《數(shù)學(xué)史選講》,那么丁同學(xué)就不選《對(duì)稱(chēng)與群》.若這些信息都是正確的,則丙同學(xué)選修的課程是( )
A. 《數(shù)學(xué)史選講》B. 《球面上的幾何》C. 《對(duì)稱(chēng)與群》D. 《矩陣與變換》
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