Question

【題目】現(xiàn)有邊長(zhǎng)分別3，4，5的三角形兩個(gè)，邊長(zhǎng)分別4，5，的三角形四個(gè)，邊長(zhǎng)分別為，4，5的三角形六個(gè).用上述三角形為面，可以拼成______個(gè)四面體.

Answer 1

【答案】一

【解析】

如圖所示，.

能拼成四面體的關(guān)鍵之一是兩相鄰面的交棱長(zhǎng)相等，關(guān)鍵之二是每頂點(diǎn)處任兩個(gè)面角之和大于第三個(gè)面角.據(jù)題設(shè)條件知，每種三角形必須成對(duì)出現(xiàn).不仿設(shè)拼成的四面體為PQRS，如圖.

（1）若取兩個(gè)置于和上，使.

（i）若取兩個(gè)置于和上，（），則P處的三個(gè)面角分別為和.而，所以不能拼成四面體.

（ii）若取另兩個(gè)置于和上，（）則P處的三個(gè)面角分別和，而

（可用余弦定理算之），所以也不能拼成四面體.

（iii）若取兩個(gè)置于和上（），則P處的三個(gè)面角分別和，而（因?yàn)?/span>

，且內(nèi)為減函數(shù)），所以仍不能拼成.

（2）若取兩個(gè)置于和上，使.

（i）若取兩個(gè)另置于兩個(gè)面上（），由上述（1）、（iii）知不能拼成四面體.

（ii）若取兩個(gè)置于另兩個(gè)面上（），則P處的三個(gè)面角分別和，而，因此也不能拼成.

（iii）若取另兩個(gè)置于另兩個(gè)面上（），則P處的三個(gè)面角分別和，而其中最大角（因?yàn)?/span>，且在內(nèi)為增函數(shù)），即頂點(diǎn)處的三個(gè)面角任二個(gè)面角之和大于第三個(gè)面角成立.

所以，這四個(gè)三角形僅能拼成一個(gè)四面體.