Question

20．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上有一點(diǎn)M（-4，$\frac{9}{5}$）在拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線l上，拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn)．
（1）求橢圓方程；
（2）若點(diǎn)N在拋物線上，過N作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q，求|MN|+|NQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意求得c=4，得到p=8，再由點(diǎn)M（-4，$\frac{9}{5}$）在橢圓上，結(jié)合隱含條件求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）由題意畫出圖形，由拋物線定義把|MN|+|NQ|的最小值轉(zhuǎn)化為|MF|求解，由兩點(diǎn)的距離公式，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1上的M（-4，$\frac{9}{5}$）
在拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線l：x=-$\frac{p}{2}$上，
拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn)．
∴c=4，p=8…①
∵M(jìn)（-4，$\frac{9}{5}$）在橢圓上，
∴$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{81}{25^{2}}$=1…②
又∵a²=b²+c²…③
∴由①②③解得：a=5，b=3，
∴橢圓為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）由p=8得拋物線為y²=16x．
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F（4，0），由拋物線的定義得|NQ|=|NF|，
∴|MN|+|NQ|=|MN|+|NF|≥|MF|=$\sqrt{（-4-4）^{2}+（\frac{9}{5}-0）^{2}}$=$\frac{41}{5}$，即為所求的最小值．

點(diǎn)評 本題考查橢圓與拋物線的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，運(yùn)用三點(diǎn)共線取得最小值是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，是中檔題．