Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax．
（I ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線y=ax+2平行．求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜l時(shí)，證明：曲線y=f（x）在直線y=（e-1）x的上方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得a值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)a分類分析得答案；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-（e-1）x=e^x-ax-ex+x，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，由最小值恒大于0得答案．

解答 （Ⅰ）解：f（x）=e^x-ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-a，
曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為k=e-a，
由切線與直線y=ax+2平行，
得e-a=a，解得a=$\frac{e}{2}$．
（Ⅱ）解：f′（x）=e^x-a，
若a≤0，則f′（x）＞0，則f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
若a＞0，則當(dāng)x＞lna時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（lna，+∞）上遞增；
當(dāng)x＜lna時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，lna）上遞減．
（Ⅲ）證明：令g（x）=f（x）-（e-1）x=e^x-ax-ex+x，
則g′（x）=e^x-a-e+1，
由g′（x）=e^x-a-e+1=0，得x=ln（a+e-1）．
∴當(dāng)x＞ln（a+e-1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（ln（a+e-1），+∞）上遞增；
當(dāng)x＜ln（a+e-1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（-∞，ln（a+e-1））上遞減．
∴g（x）在（-∞，+∞）上有極小值也就是最小值為g（ln（a+e-1））=e^{ln（a+e-1）}-（a+e-1）ln（a+e-1）
=（a+e-1）（1-ln（a+e-1））．
∵0＜a＜1，∴0＜a+e-1＜e，
則ln（a+e-1）＜1，
∴g（ln（a+e-1））=（a+e-1）（1-ln（a+e-1））＞0．
∴曲線y=f（x）在直線y=（e-1）x的上方．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．