Question

3．若函數(shù)y=x³+bx²+cx在區(qū)間（-∞，0）及[2，+∞）是增函數(shù)，在（0，2）是減函數(shù)，求此函數(shù)在[-1，4]上的值域．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的解析式，從而求出函數(shù)的值域即可．

解答 解：∵y=x³+bx²+cx，∴y′=3x²+2bx+c，
若函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）及[2，+∞）是增函數(shù)，在（0，2）是減函數(shù)，
則0，2是方程3x²+2bx+c=0的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{12+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴y=x³-3x²，
函數(shù)在[-1，0）遞增，在（0，2）遞減，在（2，4]遞增，
而f（-1）=-4，f（0）=0，f（2）=-4，f（4）=16，
故此函數(shù)的值域是[-4，16]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．