Question

9．如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FB}$=2，將此正方形沿DE，DF折起，使點A，C重合于點P，若O為線段EF任一點，DO與平面PEF所成的角為θ，則tanθ的最大值是$\frac{3\sqrt{14}}{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件作出折疊后對應的圖形，得到∠DOP是OD與底面EFP所成的角，根據(jù)DP的定值，則tanθ的最大值等價為OP最小，結合三角形的邊角關系進行求解即可．

解答 解：∵正方形ABCD的邊長為3，$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FB}$=2，
∴AE=CF=2，BE=BF=1，
則EF=$\sqrt{2}$，折疊后對應的圖形如圖，
則此時EP=FP=AE=2，
∵CD⊥CF，DA⊥AE，
∴折疊后，PD⊥PF，DP⊥PE，
即PD⊥平面EFP，
則∠DOP是OD與底面EFP所成的角，且DP=3，
則tanθ=tan∠DOP=$\frac{DP}{OP}$=$\frac{3}{OP}$，
則要使tanθ最大，則只要OP最小即可，此時OP⊥EF，
即O是EF的中點，
則OE=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OP=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\sqrt{4-\frac{2}{4}}$=$\sqrt{\frac{14}{4}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
則tanθ的最小值為tanθ=$\frac{3}{\frac{\sqrt{14}}{2}}$=$\frac{6}{\sqrt{14}}$=$\frac{3\sqrt{14}}{7}$，
故答案為：$\frac{3\sqrt{14}}{7}$

點評 本題主要考查線面角的計算以及三角函數(shù)的最值問題，根據(jù)條件作出折疊后的圖形，找出線面角，進行轉化是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．