Question

15．已知拋物線C：y²=2px的焦點(diǎn)為F，A為C上位于第一象限的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸于點(diǎn)D，且△ADF為等腰直角三角形，若|FA|=|AD|，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3+2$\sqrt{2}$，則拋物線C的方程為y²=4x或y²=（68+48$\sqrt{2}$）x．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由拋物線的方程可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，作出圖形分析可得|AG|=|FG|，用p表示|AG|、|FG|，可得|3+2$\sqrt{2}$-$\frac{p}{2}$|=$\sqrt{2p（3+2\sqrt{2}）}$，解可得p的值，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸，
拋物線C：y²=2px，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{p}{2}$，0），
又由△ADF為等腰直角三角形，且|FA|=|AD|，
則有|AG|=|FG|，
又由點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3+2$\sqrt{2}$，設(shè)其縱坐標(biāo)為y_b，
則|FG|=|3+2$\sqrt{2}$-$\frac{p}{2}$|，
點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3+2$\sqrt{2}$，y_b²=2p（3+2$\sqrt{2}$），
則有|3+2$\sqrt{2}$-$\frac{p}{2}$|=$\sqrt{2p（3+2\sqrt{2}）}$，
解可得p=2或34+24$\sqrt{2}$，
故拋物線的方程為y²=4x，
故答案為：y²=4x或y²=（68+48$\sqrt{2}$）x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是利用等腰直角三角形的性質(zhì)分析．