Question

7．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，第二象限的點P（x₀，y₀）滿足bx₀+ay₀=0，若線段PF₂的垂直平分線恰為雙曲線C的過一、三象限的漸近線，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 4
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題意，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+c}$=$\frac{a}$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$=-$\frac{a}$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{a}$，由此可得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+c}$=$\frac{a}$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-c}$=-$\frac{a}$，$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{a}$，
∴x₀=-$\frac{c}{2}$，y₀=$\frac{bc}{2a}$，
∴$\frac{\frac{bc}{2a}}{-\frac{3c}{2}}$=-$\frac{a}$，∴$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
∴e=$\sqrt{1+3}$=2，
故選D．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查對稱性的運用，屬于中檔題．