Question

5．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁且與x軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，直線AF₂與橢圓的另一個交點為C，若$\overrightarrow{A{F_2}}+2\overrightarrow{C{F_2}}$=0，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出A的坐標，結(jié)合向量加法的坐標運算，求得C的坐標，代入橢圓方程可解e的值．

解答 解：如圖，

由題意，A（-c，-$\frac{^{2}}{a}$），F(xiàn)₂（c，0），C（x，y），
∵$\overrightarrow{A{F}_{2}}$+2$\overrightarrow{C{F}_{2}}$=0，（2c，$\frac{^{2}}{a}$）+2（-x+c，-y）=0，
∴y=$\frac{^{2}}{2a}$，x=2c．
∴C（2c，$\frac{^{2}}{2a}$），代入橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{4{a}^{2}}$=1，由b²=a²-c²，
整理得：5c²=a²，解得e=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
橢圓的離心率$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了平面向量的坐標運算在求解圓錐曲線問題中的應用，是中檔題．