Question

14．某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分100分，成績(jī)均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中前三段的頻率成等比數(shù)列．
（1）求圖中實(shí)數(shù)a的值；
（2）若該校高一年級(jí)共有學(xué)生640人，試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于80分的人數(shù)；
（3）若從樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40，50）與[90，100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，記這兩名學(xué)生成績(jī)?cè)赱90，100]內(nèi)的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望值．

Answer 1

分析 （1）由等比數(shù)列性質(zhì)及頻率分布直方圖，列出方程，能求出a．
（2）利用頻率分布直方圖能求出成績(jī)不低于80分的人數(shù)．
（3）樣本中成績(jī)?cè)赱40，50）內(nèi)的人數(shù)為2，成績(jī)?cè)赱90，100]內(nèi)的人數(shù)為4，X的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）∵頻率分布直方圖前三段的頻率成等比數(shù)列，
∴由頻率分布直方圖，得：（10b）²=0.05×0.20，解得b=0.010，
∴a=0.1-0.005-0.010-0.020-0.025-0.010=0.030．
（2）成績(jī)不低于80分的人數(shù)估計(jì)為：640×（0.025+0.010）×10=224．
（3）樣本中成績(jī)?cè)赱40，50）內(nèi)的人數(shù)為40×0.005×10=2，
成績(jī)?cè)赱90，100]內(nèi)的人數(shù)為40×0.010×10=4，
X的所有可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{5}$

∴E（X）=$0×\frac{1}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．