Question

8．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinx•sin（x+$\frac{π}{2}$）-cos²x+$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間
（Ⅱ）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sinx•sin（x+$\frac{π}{2}$）-cos²x+$\frac{1}{2}$，
化解可得：f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}-$$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
（1）∴函數(shù)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
解得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$，即x=0時(shí)，f（x）取得最小值為$-\frac{1}{2}$．
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）取得最小值為1．
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值1，最小值為$-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．