Question

8．將曲線C：（x-2）²+y²=4圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$，再向左平移1個單位，得到曲線C₁的圖象，若曲線C₁上存在點P，使得點P到點$F（0，\sqrt{3}）$的距離與點P到直線$l：y=\sqrt{2}x+2\sqrt{3}$的距離相等，則點P的坐標為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)對應(yīng)關(guān)系求出曲線C₁的方程，根據(jù)條件列方程解出P點坐標．

解答 解：設(shè)P（x，y），則P′（2（x+1），y）在曲線C：（x-2）²+y²=4圖象上，
∴4x²+y²=4，
∴曲線C₁的軌跡方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
設(shè)P點坐標為（cosθ，2sinθ），
則|PF|=$\sqrt{co{s}^{2}θ+（2sinθ-\sqrt{3}）^{2}}$，P到直線l的距離為$\frac{|\sqrt{2}cosθ-2sinθ+2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}}$．
∴$\sqrt{co{s}^{2}θ+（2sinθ-\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{|\sqrt{2}cosθ-2sinθ+2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}}$，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinθ=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$或cosθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴P點坐標為$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$或$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$．
故答案為$（\frac{{\sqrt{3}}}{3}，-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$或$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$．

點評 本題考查了軌跡方程的求法，距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．