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3.已知數(shù)列{an},an≥0,a1=0,an+12+an+1-1=an2(n∈N).記Sn=a1+a2+…+an.Tn=11+a1+11+a11+a2+…+11+a11+a21+an.求證:當(dāng)n∈N*時(shí)
(Ⅰ)0≤an<an+1<1;
(Ⅱ)Sn>n-2;
(Ⅲ)Tn<3.

分析 (Ⅰ)先證明an+1-an>0,再證明an+1<1.
(Ⅱ)由ak+12+ak+1-1=ak2,對k取1,2,…,n-1時(shí)的式子相加得Sn,最后對Sn進(jìn)行放縮即可證得.
(Ⅲ)利用放縮法由ak+12+ak+1=1+ak22ak,得11+ak+1ak+12akk=23n1n3,即可得出結(jié)論.

解答 證明:(Ⅰ)因?yàn)閍n+12+an+1-1=an2,(1)所以an2+an-1=an-12,(2)
12an+1anan+1+an+1=a2na2n1,
所以an+1-an與an-an-1同號,即與a2-a1一致.
因?yàn)?{a_2}=\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$,且a2-a1>0,
∴an+1-an>0,
a2n+1+an+11=a2n,
a2n+1a2n=1an+10,
即an+1<1
綜上所述:0≤an<an+1<1對任何n∈N*都成立.
(Ⅱ)證明:由ak+12+ak+11=ak2,k=1,2,…,n-1(n≥2),
a2n+a2+a3++ann1=a21
因?yàn)閍1=0,所以Sn=n1a2n
∵an<1,
所以Sn>n-2.                                         
(Ⅲ)證明:由ak+12+ak+1=1+ak22ak,得11+ak+1ak+12akk=23n1n3
所以11+a31+a41+anan2n2a2a3,
于是11+a21+a31+anan2n2a22+a2=an2n212n2n3,
故當(dāng)n≥3時(shí),Tn1+1+12++12n23,
又因?yàn)門1<T2<T3
所以Tn<3.

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系,不等式證明等基礎(chǔ)知識和基本技能,同時(shí)考查邏輯推理能力,屬于中檔題.

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(1)求a,b的值,并直接指出哪一組技工的技術(shù)水平的穩(wěn)定性更好;
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