分析 (Ⅰ)先證明an+1-an>0,再證明an+1<1.
(Ⅱ)由ak+12+ak+1-1=ak2,對k取1,2,…,n-1時(shí)的式子相加得Sn,最后對Sn進(jìn)行放縮即可證得.
(Ⅲ)利用放縮法由ak+12+ak+1=1+ak2≥2ak,得11+ak+1≤ak+12ak(k=2,3,…,n−1,n≥3),即可得出結(jié)論.
解答 證明:(Ⅰ)因?yàn)閍n+12+an+1-1=an2,(1)所以an2+an-1=an-12,(2)
(1)−(2)得(an+1−an)(an+1+an+1)=a2n−a2n−1,
所以an+1-an與an-an-1同號,即與a2-a1一致.
因?yàn)?{a_2}=\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$,且a2-a1>0,
∴an+1-an>0,
∵a2n+1+an+1−1=a2n,
∴a2n+1−a2n=1−an+1>0,
即an+1<1
綜上所述:0≤an<an+1<1對任何n∈N*都成立.
(Ⅱ)證明:由ak+12+ak+1−1=ak2,k=1,2,…,n-1(n≥2),
得a2n+(a2+a3+…+an)−(n−1)=a21.
因?yàn)閍1=0,所以Sn=n−1−a2n.
∵an<1,
所以Sn>n-2.
(Ⅲ)證明:由ak+12+ak+1=1+ak2≥2ak,得11+ak+1≤ak+12ak(k=2,3,…,n−1,n≥3)
所以1(1+a3)(1+a4)…(1+an)≤an2n−2a2(a≥3),
于是1(1+a2)(1+a3)…(1+an)≤an2n−2(a22+a2)=an2n−2<12n−2(n≥3),
故當(dāng)n≥3時(shí),Tn<1+1+12+…+12n−2<3,
又因?yàn)門1<T2<T3,
所以Tn<3.
點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系,不等式證明等基礎(chǔ)知識和基本技能,同時(shí)考查邏輯推理能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-2,1) | B. | (-2,1] | C. | (1,2) | D. | [1,2) |
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每組員工編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
甲組 | a | 5 | 7 | 9 | b |
乙組 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
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A. | n≤2014 | B. | n≤2015 | C. | n≤2016 | D. | n≤2018 |
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A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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A. | 2 | B. | -2 | C. | \frac{1}{2} | D. | -\frac{1}{2} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{17}{18} | B. | -\frac{17}{18} | C. | \frac{18}{17} | D. | -\frac{18}{17} |
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