Question

1．已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，且滿足f（-x）=f（x），則（　　）

• A． f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增
• B． f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）上單調(diào)遞減
• C． f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減
• D． f（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）上單調(diào)遞增

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的對稱性求出函數(shù)的周期，利用周期求ω的值，利用函數(shù)的奇偶性可求φ，從而可得函數(shù)解析式，進而利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ+$\frac{π}{4}$）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴函數(shù)的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，即 $\frac{2π}{ω}$=π，即ω=2，
則f（x）=3sin（2x+φ+$\frac{π}{4}$）．
∵f（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)，φ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{2}$）=3cos2x．
∴由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，可得：kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴f（x）=3cos2x的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z，
∴f（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞減．
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用，考查了計算能力和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．